Was ist transponierte matrix?

Transponierte Matrix

Die transponierte Matrix einer Matrix A, bezeichnet als A<sup>T</sup> oder A', ist eine Matrix, die entsteht, indem die Zeilen und Spalten von A vertauscht werden. Das bedeutet, das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A<sup>T</sup> ist gleich dem Element in der j-ten Zeile und i-ten Spalte von A. Formal:

(A<sup>T</sup>)<sub>ij</sub> = A<sub>ji</sub>

Eigenschaften:

  • Die Transponierte der Transponierten ist die ursprüngliche Matrix: (A<sup>T</sup>)<sup>T</sup> = A. Weitere Informationen hierzu finden Sie unter: Transponierung%20von%20Matrizen
  • Die Transponierte einer Summe ist die Summe der Transponierten: (A + B)<sup>T</sup> = A<sup>T</sup> + B<sup>T</sup>. Siehe auch: Addition%20von%20Matrizen
  • Die Transponierte eines Skalarprodukts ist das Skalarprodukt der Transponierten: (cA)<sup>T</sup> = cA<sup>T</sup>, wobei c ein Skalar ist.
  • Die Transponierte eines Produkts ist das Produkt der Transponierten in umgekehrter Reihenfolge: (AB)<sup>T</sup> = B<sup>T</sup>A<sup>T</sup>. Dies ist eine wichtige Eigenschaft beim Matrixprodukt.
  • Wenn A eine quadratische Matrix ist, dann ist A + A<sup>T</sup> eine symmetrische%20Matrix und A - A<sup>T</sup> eine schiefsymmetrische%20Matrix.

Anwendungen:

Die transponierte Matrix findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, wie zum Beispiel:

  • Lineare Algebra: Bei der Berechnung von Inverse%20Matrix und Determinanten.
  • Statistik: Bei der Berechnung von Kovarianzmatrizen.
  • Maschinelles Lernen: Bei der Verarbeitung von Daten und der Berechnung von Gradienten.
  • Computergrafik: Bei der Transformation von Objekten.